Diferenças

Aqui você vê as diferenças entre duas revisões dessa página.

--- historico:2014:ensaios:niebuhr [2014/10/14 00:29] – [Distinguindo entre padrões de movimento animal usando abordagem da verossimilhança] bernardo_brandaum
+++ historico:2014:ensaios:niebuhr [2022/11/24 14:12] (atual) – edição externa 127.0.0.1
@@ Linha 1: / Linha 1: @@
+====== Distinguindo entre padrões de movimento animal usando a abordagem da verossimilhança ======
+==Bernardo B. S. Niebuhr==
+  * Laboratório de Ecologia Espacial e Conservação, Departamento de Ecologia, UNESP - Rio Claro
+  * bernardo_brandaum@yahoo.com.br
+===== Introdução =====
+A ecologia descreve os organismos por meio de suas interações - consumo de recursos,
+interações sociais, competição entre indivíduos próximos, predação, mutualismos, e
+a lista pode continuar indefinidamente. De qualquer maneira, um processo é necessário para que organismos e outros elementos
+que compõe a natureza se acoplem no espaço e no tempo, de forma a possibilitar a ocorrência de tais interações: o movimento.
+Quando pensamos no contexto da movimentação de animais, podemos imaginar diversos motivos que os levam a se mover: busca por alimento
+ou água, busca por parceiros reprodutivos ou por evitar estar no mesmo território que outros indivíduos, dispersão entre manchas de
+habitat ou áreas de vida etc. Ao mensurarmos o movimento dos animais, seja por métodos mais diretos seja pela utilização de complexos
+aparatos tecnológicos, os padrões de movimento refletem essa multiplicidade de comportamentos, atividades e motivações.
+Um resultado típico de um processo de quantificação de uma trajetória animal é uma sequência de segmentos que representam os
+deslocamentos do animal, entre os quais há mudanças na direção em que o animal se move. Assim, por meio da mensuração de sua
+posição em intervalos de tempo regulares, chega-se a um conjunto de deslocamentos (chamados aqui de "passos", mas podendo se referir
+ao qualquer tipo de movimento) e de ângulos de virada entre esses deslocamentos. Esse conjunto de dados pode ser visualizado na
+forma de distribuições de frequência((Veja a seção Distribuições de probabilidade.)). Por sua vez, imbuído nessas distribuições
+estão os processos que levam os animais a se movimentarem. Um animal se alimentando em um local com muitos recursos, por exemplo,
+provavelmente evitará se deslocar por grandes distâncias e dará passos predominantemente curtos, com ângulos de virada grandes,
+visitando os mesmos locais várias vezes((A forma mais simples de representar esse comportamento é por meio de caminhadas aleatórias
+Brownianas; veja mais na seção de Análise de padrões de movimento.)).
+Um animal em um ambiente com menos recursos pode tender a mesclar passos curtos nos locais
+de alta densidade de recursos com passos mais longos entre manchas de recursos. Um animal que possui um ninho ou toca, por sua vez,
+na maioria das vezes deve evitar se distanciar demasiadamente de seu abrigo, para evitar ser predado ou ficar demasiadamente cansado.
+Muitos são os processos que podem gerar distintos padrões de movimento animal; o papel do ecólogo é justamente observar e compreender
+quais mecanismos estão levando os animais a se moverem como se movem.
+Dentro desse contexto, o primeiro passo para se compreender a movimentação animal((Aqui estamos falando em animais, mas essa abordagem
+pode ser ampliada para o contexto de outros organismos.)) é identificar o padrão de movimento, isso é, identificar a distribuição de probabilidade
+dos dados de movimento, para então inferir sobre os processos que podem estar levando a esse padrão. O presente texto busca justamente
+tratar desse primeiro passo, utilizando a abordagem da verossimilhança para distinguir entre modelos de distribuição concorrentes que sejam
+mais adequados para explicar os dados de movimento.
+Primeiramente será feita uma breve revisão sobre conceitos de distribuições de probabilidade e de função de verossimilhança; então, esse
+panorama será aplicado para dintinguir entre modelos concorrentes de movimentação animal, utilizando dados de movimentação simulados.
+Por fim, alguns comentários serão feitos com relação a outras possíveis análises a serem feitas partindo dessa abordagem.
+==== Distribuições de probabilidade ====
+Ao observarmos um processo na natureza e o quantificarmos, a cada vez que o observamos pode ser que o resultado seja distinto. Isso pode
+ocorrer por erros ou incertezas no processo de medição, mas pode também haver uma variação inerente ao processo em questão. Por exemplo,
+ao contabilizarmos todos os pássaros que visitam uma certa árvore em uma manhã, e repetirmos essa obsevação por vários dias seguidos, certamente
+o número de indivíduos de cada espécie que visita a árvore variará entre os dias. Essa variação não se deve a problemas de identificação da espécie
+ou tempo de observação, mas ocorre pois a visita de aves a uma árvore é um processo estocástico, variável no tempo e no espaço.
+A cada dia de observação, podemos abstrair a quantidade de espécies que ocorre na região e que visitou não visitou a árvore, que visitou uma vez,
+que visitou duas vezes e assim por diante. A quantidade de espécies em cada classe de número de ocorrências é chamada de frequência de observação, e
+temos então uma distribuição de frequências. A extensão da ideia de uma distribuição de frequências, em que alguns eventos são observados mais
+frequentemente que outros, leva à noção de distribuições de probabilidade.
+Distribuições de probabilidade são conjuntos de probabilidades atribuídos a um conjunto de eventos ou possíveis resultados de uma observação ou
+medição. No caso da contagem do número de indivíduos de cada espécie que visita uma árvore, tem-se uma distribuição discreta, isso é, uma processo
+em que o que é observado pode ser traduzido em contagens de números inteiros. Outros exemplos de distribuições discretas
+são o número de espécies que ocorre em um fragmento,
+o número de animais de uma ninhada que sobrevive até uma certo ano ou o número de plântulas que morrem devido a predação em parcelas de restauração
+florestal. Já no caso da observação do movimento de um animal, ao se medir o comprimento do passo e os ângulos de virada tem-se duas variáveis
+que seguem distribuições contínuas - elas podem assumir qualquer valor real dentro de um determinado intervalo.
+Qualquer que seja o caso, a distribuição de probabilidade é uma função matemática que atribui uma probabilidade de ocorrência para cada evento
+(isso é, cada valor da variável) possível de ser observado. Por ser uma função matemática, distribuições de probabilidade "transformam" um número,
+correspondente ao valor observado da variável, em uma probabilidade de que aquele número ocorra. Como esse valor não é conhecido, cabe aos
+pesquisadores observar o processo em questão na natureza e inferir sobre ele a partir dos dados coletados.
+No caso de distribuições de probabilidade contínuas, o mais comum é se pensar em distribuições de densidade de probabilidade. Densidades de probabilidade
+podem assumir valores maiores que 1, mas o que faz sentido de se perguntar diante de tal distribuição é: qual é a probabilidade de se observar um
+valor da variável dentro de um determinado intervalo (por exemplo, de observar um tamanho de passo entre 1 e 10 metros, para a movimentação de uma
+onça-pintada?). Uma função de densidade de probabilidade (//fdp//) é representada por um conjunto de parâmetros $\theta$, que irão atribuir probabilidades a cada
+possível observação:
+$$fdp = f(x) = f(X=x | \theta)$$
+onde X é a variável observada e x é o conjunto de valores a serem observados para essa variável.
+Em outras palavras, se atribuirmos valores aos parâmetros, a //fdp// vai retornar um valor de probabilidade para cada intervalo de valores possíveis de
+serem observados((Não tratarei nesse texto dos aspectos técnicos da distribuições de probabilidade, mas simplesmente farei uma explicação breve
+dos conceitos; para uma visão mais técnica, ver o Capítulo 4 de Bolker (2008).)).
+O ponto central é que, ao se observar um processo ecológico (por exemplo, a movimentação de um animal), pode-se representar essa informação por
+meio de uma distribuição de frequências, e então realizar inferências a respeito da distribuição de probabilidades do processo em questão. Olhar para
+as distribuições de probabilidade é o primeiro passo para investigar os mecanismos subjacentes por trás dos padrões de movimento observados((Cada
+distribuição de probabilidade representa um modelo teórico para explicar um padrão observado; aqui, ao utilizar o termo "padrões de movimentação",
+estaremos nos referindo às possíveis distribuições ou modelos que as características de movimento seguem.)).
+==== A função de verossimilhança ====
+Ao falarmos em //fdp//'s, pensamos em atribuir um conjunto de parâmetros a uma função para obter a probabilidade de se observar cada valor em um
+determinado contexto. Entretanto, ao se ir realizar uma observação de uma fenômeno, como a trajetória de um animal forrageando, o que tem-se em mãos
+é um conjunto de dados (o qual pode ser organizado na forma de uma distribuição), mas não se sabe qual é a distribuição que gerou os dados, nem quais os
+parâmetros dessa distribuição, conjunto que atribui probabilidade às observações feitas.
+Uma saída, então, é pensar não em funções de densidade probabilística, mas em funções de verossimilhança. Imagine que, agora, ao invés de fixarmos os
+parâmetros de uma //fdp// e atribuir probabilidade a observar cada valor para os dados, vamos fixar as observações das variáveis - no caso, o comprimento
+dos passos em um trajetória de movimento - e olhar para uma função dos parâmetros, que atribui uma probabilidade a cada valor deles para ter gerado os
+dados observados. Em outros termos, busca-se, a partir do conjunto de dados observados, construir uma função de densidade que retorne
+a plausibilidade de cada conjunto de valores de parâmetros. Essa é a função de verossimilhança. Na forma mais usual, ela é escrita como:
+$$\mathcal{L} (\theta | X=x) = f(\theta | X = x)$$
+Essa função não atribui uma probabilidade, no sentido estrito((A função de verossimilhança não possui as propriedades de uma distribuição de
+probabilidades.)), mas uma plausibilidade, verossimilhança ou força de evidência para cada conjunto de parâmetros de uma distribuição, baseado em um
+conjunto de dados. A função nada mais é do que a própria //fdp// com os valores observados fixos e tendo-se os parâmetros como variáveis.
+Uma vez construída a função de verossimilhança, busca-se o valor que atribui máxima plausibilidade para que os parâmetros tenham gerado os dados observados,
+o estimador de máxima verossimilhança (MLE). Ao redor do MLE se concentram outros valores dos parâmetros que são também muito plausíveis; portanto, é usual
+contruir um intervalo de verossimilhança, definido como o conjunto de valores de parâmetro que são igualmente verossímeis, dados os dados. Como a
+verossimilhança é diferente de uma probabilidade, ela não possui interpretação absoluta, somente uma interpretação relativa: só pode-se pensar na
+verossimilhança de um valor de parâmetro em relação a outro, ou de um modelo em relação a outro, e não em termos absolutos, em relação a todos os outros
+valores ou modelos possíveis.
+==== A função de log-verossimilhança negativa ====
+Na prática, é usual utilizar a função de log-verossimilhança negativa, ao invés da função de verossimilhança. Ela corresponde simplesmente ao negativo
+do logaritmo natural((Logatimo com base e $\sim$ 2,71.)) da função de verossimilhança:
+$$-L(\theta | X=x) = -ln[\mathcal{L} (\theta | X=x)]$$
+Essa transformação facilita os cálculos, uma vez que multiplicações de verossimilhanças (geralmente com valores muito pequenos, com muitas casas decimais)
+se transformam em somas de números mais fáceis de se tratar. Nesse caso, o MLE então representa o valor que minimiza a função de log-verossimilhança
+negativa, e razões de evidência de um
+conjunto de parâmetros e favor de outro ou de um modelo em favor de outro se tornam diferenças de valores de log-verossimilhança negativa.
+==== Seleção de modelos concorrentes ====
+Uma vez que conhece-se um conjunto de distribuições de probabilidade a que as observações realizadas possam estar relacionadas, e que essas observações
+foram realizadas, pode-se então buscar as estimativas de parâmetros mais plausíveis para cada modelo. Entretanto, permanece uma pergunta: qual é o modelo
+mais apoiado pelas observações? Que tipo de processo estocástico está relacionado ao processo ecológico observado, a partir do qual podemos então buscar
+compreender a variabilidade desse processo e quais os mecanismos por trás dele?
+Um valor que dá informação de quão bem uma distribuição com um conjunto de parâmetros se ajusta a um conjunto de dados é o valor da verossimilhança
+(log-verossimilhança negativa): quanto mais alto (baixo) esse valor, mais o modelo se ajusta às observações. Entretanto, essa estimativa é enviesada:
+quanto mais parâmetros tem uma distribuição, geralmente se obterá um ajuste melhor aos dados, mesmo que esse ajuste possa em muitos casos não se referir
+de fato ao processo estocástico subjacente, mas a uma observação (ou conjunto de observações) em particular. Para lidar com esse viés, há várias propostas
+de //critérios de informação// que fazem um balanço entre o ajuste do modelo aos dados e o número de parâmetros e observações. Os critérios de informação
+expressam quanta informação é perdida relativamente entre modelos, ao expressar um processo (desconhecido) que gerou os dados observados.
+Um dos critérios mais utilizados é o //Critério de Informação de Akaike// (AIC):
+$$AIC \ = \ -2\ L( \widehat{\theta}\, | \,y) + 2 K$$
+Onde $L( \widedhat{\theta}\, | y)$ é a log-verossimilhança máxima (avaliada nos MLEs $\widehat{\theta}$ ), e
+$K$ é o número de parâmetros do modelo. Quanto menor o primeiro termo dessa relação, melhor o ajuste aos dados; entretanto, quanto maior o número de
+parâmetros, mais alto o valor do AIC. Por meio desse balanço, busca-se, entre um conjunto de modelos, aquele mais plausível, isso é, aquele com menor
+valor de AIC, que melhor se ajusta aos dados, seja qual for seu número de parâmetros. Usualmente considera-se quaisquer modelos com uma diferença entre
+AIC's menor ou igual a 2 como igualmente plausíveis((Isso representa modelos com razão de verossimilhança menor ou igual a aproximadamente 7.)), mas
+essa é apenas um convenção e não uma regra a ser seguida à risca.
+===== Analisando padrões de movimento animal =====
+O que buscamos fazer nessa seção é utilizar a abodagem da verossimilhança e da seleção de modelos para distinguir entre padrões de movimentação animal,
+utilizando dados simulados de movimento. Os primeiros modelos de movimento animal que surgiram consideravam as trajetórias como uma movimento Browniano,
+isso é, um movimento sem direção preferencial (distribuição uniforme dos ângulos de virada) e uma comprimento de passo esperado médio seguindo uma
+distribuição exponencial, com uma escala caracvterística de movimento (ou, alternativamente, uma distribuição Gaussiana; Viswanathan et al. 2011).
+Entretanto, um conjunto crescente de estudos
+analisando trajetórias de movimento animal começou a juntar evidências de processos de movimento de Lévy, caracterizados por distribuições de leis de
+potência (também chamadas de distribuições de Lévy)((Para saber mais, ver Newman (2005).)). Esse padrão é caracterizado por conjuntos de passos curtos,
+separados por alguns poucos (mas não tão raros)
+deslocamentos surpreendentemente longos. Pode-se pensar ainda em outros modelos que caracterizem bem padrões de movimento, como distribuições Gama,
+que são mais flexíveis e podem representar movimentos em diferentes contextos e com motivações distintas, ou modelos de mistura de distribuições,
+representando, por exemplo, o movimento em duas escalas espaciais distintas.
+O método tradicional de se avaliar o padrão de movimentação, que dava suporte para distribuições de Lévy, consistia em (i) plotar alguma forma de histograma
+do comprimento de passo do movimento, em escala log-log; (ii) fazer uma regressão linear simples desses dados; e (iii) adotar o coeficiente
+angular dessa regressão
+como o coeficiente da lei de potência((Esse procedimento justifica-se pois, ao transformar uma distribuição de lei de potência logaritmicamente, obtem-se
+uma linha reta.)). Entretanto, Edwards et al. (2007, 2008) mostraram que esse método não é eficiente e pode levar a resultados equivocados. O que eles
+propõe é justamente aplicar a abordagem da verossimilhança, para distinguir a plausibilidade de modelos explicativos concorrentes.
+==== "Estudo de Caso": uma mistura de dois tipos de movimento ====
+Para exemplificar a aplicação da abordagem da verossimilhança para distinguir entre padrões de movimento animal, vamos simular uma caminhada
+aleatória Browniana composta de duas fases: uma fase de movimento intensivo, em escala fina (representando, por exemplo, o movimento dentro de uma
+mancha de recursos), e uma fase de movimento extensivo, com passos mais longos (representando o movimento de dispersão entre fragmentos ou manchas
+de habitat). A trajetória consiste em 600 pontos, com duas passagens por cada fase de movimento, e foi gerada utilizando o pacote
+[[http://cran.r-project.org/web/packages/adehabitatLT/index.html|adehabitatLT]]:
+<code>
+# Carregando pacotes
+library(adehabitatLT)
+# Simulando a trajetória
+# Combinação de duas trajetórias Brownianas com diferents parâmetros de escala
+set.seed(1210)
+path1 <- simm.brown(1:150, x0=c(0,0), h=5)
+x <- path1[[1]]$x[150]; y <- path1[[1]]$y[150]
+path2 <- simm.brown(151:301, x0=c(x, y), h=30)
+x <- path2[[1]]$x[151]; y <- path2[[1]]$y[151]
+path3 <- simm.brown(302:452, x0=c(x,y), h=5)
+x <- path3[[1]]$x[151]; y <- path3[[1]]$y[151]
+path4 <- simm.brown(453:603, x0=c(x,y), h=30)
+nlinhas <- 600
+path <- as.data.frame(matrix(NA, nrow=nlinhas, ncol=4, dimnames=list(1:nlinhas,
+                      c("name", "date", "X", "Y"))))
+path$name <- "animal1"
+path[2:4] <- rbind(path1[[1]], path2[[1]][-1,], path3[[1]][-1,], path4[[1]][-1,])[c(3,1,2)]
+path.comb <- as.ltraj(xy = path[,c("X", "Y")], date=path$date, id=path$name)
+</code>
+Para visualizar essa trajetória, com início no ponto (0,0) do plano, bem como a variação do comprimento de passo ao longo do tempo,
+pode-se utilizar os seguintes comandos((Ou, altenativamente, pode-se utilizar a função trajdyn do pacote adehabitatLT para uma visualização dinâmica
+do processo de movimento.)):
+<code>
+plot(path.comb, xlab="x", ylab="y")					# plotando a trajetória
+abline(h=0, lty=2, col=4); abline(v=0, lty=2, col=4)
+plotltr(path.comb, "dist")							# plotando o comprimento de passo vs. tempo
+</code>
+As figuras geradas estão mostradas abaixo. Pode-se observar claramente duas fases de movimento, uma mais restrita, outra com deslocamentos maiores.
+{{:historico:2014:ensaios:trajetoria.png?700|Trajetória simulada}}
+O passo seguinte consiste em construir as funções de log-verossimilhança negativa. Faremos isso para o modelo de exponencial, Gaussiano, Gama, Lévy e para uma
+mistura de duas distribuições gaussianas. As funções de verossimilhança negativa para os três primeiros modelos estão definidas abaixo:
+<code>
+data = path.comb[[1]]$dist[-600]
+# Modelo 1
+# Exponencial
+LLexp <- function(lambda){
+  -sum(dexp(data, rate=lambda, log=T))
+}
+# Modelo 2
+# Gaussiana
+LLgauss <- function(mu, sigma){
+  -sum(dnorm(data, mean=mu, sd=sigma, log=T))
+}
+# Model 3
+# Gama
+LLgama <- function(forma, escala) {
+  -sum(dgamma(data, shape=forma, scale=escala, log=T))
+}
+</code>
+E, a seguir, são definidas as funções de para a distribuição de Lévy e para o modelo de mistura de Gaussianas:
+<code>
+# Modelo 4
+# Lei de potência
+dpowlaw <- function(x, alfa, xmin, log=FALSE){
+  c <- (alfa-1)*xmin^(alfa-1)
+  if(log) ifelse(x < xmin, 0, log(c*x^(-alfa)))
+  else ifelse(x < xmin, 0, c*x^(-alfa))
+}
+# Testando
+curve(dpowlaw(x, alfa=2.5, xmin=1), from=0, to=100, log="")
+curve(dpowlaw(x, alfa=2.5, xmin=1), from=1, to=100, log="xy")
+integrate(dpowlaw, -Inf, Inf,  alfa=2, xmin=1)
+# Levy - função de log-verossimilhança negativa
+LLlevy <- function(mu, xmin){
+  #if(mu <= 0) mu <- runif(1, 0, 5)
+  -sum(dpowlaw(data, alfa=mu, xmin=xmin, log=T))
+}
+# Modelo 5
+# Modelo de mistura entre duas distribuições Gaussianas
+mix <- function(x, mu1, mu2, sig1, sig2, a, log=FALSE){
+  z <- a*dnorm(x, mean=mu1, sd=sig1) +
+  (1-a)*dnorm(x, mean=mu2, sd=sig2)
+  if(log) log(z)
+  else z
+}
+# Testando a função
+curve(mix(x, mu1=1, mu2=10, sig1=2, sig2=3, a=0.5), -5, 15)
+integrate(mix, -Inf, Inf,  mu1=1, mu2=10, sig1=2, sig2=3, a=0.5)
+# Função de log-verossimilhança negativa
+LLmist <- function(mu1, mu2, s1, s2, a){
+  -sum(mix(data, mu1, mu2, s1, s2, a, log=TRUE))
+}
+</code>
+Por fim, utilizamos a função //mle2// do pacote //bbmle// para encontrar os valores de máxima verossimilhança de cada modelo, e a função
+AICtab para calcular os valores de AIC entre cada e comparar os modelos:
+<code>
+library(bbmle)
+(mexp <- mle2(LLexp, start=list(lambda=1/mean(data))))
+(mgauss <- mle2(LLgauss, start=list(mu=mean(data), sigma=sd(data))))
+(mgama <- mle2(LLgama, start=list(forma=mean(data)**2/var(data), escala=var(data)/mean(data))))
+(mlevy <- mle2(LLlevy, start=list(mu=2), fixed=list(xmin=min(data))))
+(mmist <- mle2(LLmist, start=list(mu1=mean(data)+1, mu2=mean(data), s1=sd(data), s2=sd(data), a=0.5)))
+AICtab(mexp, mgauss, mgama, mlevy, mmist, base=T, weights=T)
+       AIC    df dAIC   weight
+mmist  4837.8 5     0.0 1
+mexp   4906.8 1    69.0 <0.001
+mgama  4907.4 2    69.6 <0.001
+mgauss 5365.1 2   527.3 <0.001
+mlevy  6095.0 1  1257.2 <0.001
+</code>
+A comparação de modelos mostra uma vantagem clara do modelo de mistura de Gaussianas como modelo mais plausível para explicar os dados; isso
+é, o padrão gerado inicialmente foi detectado. Essa abordagem parece ser muito eficiente e útil na identificação de padrões de movimentação,
+ainda que, para dados reais, seja difícil distinguir entre alguns modelos. Abaixo, por fim, é mostrada a figura do histograma dos dados de
+comprimento de passo e o ajuste de cada modelo. É possível ver claramente que o modelo que melhor se ajusta é o modelo de mistura.
+{{:historico:2014:ensaios:ajuste.png?500|Ajuste dos modelos}}
+===== Indo além: outras análises e possibilidades =====
+Aqui ajustamos modelos de distribuição com parâmetros fixos a dados simulados de movimentação. Entretanto, ao fazermos isso, estamos simplesmente
+fazendo um ajuste fenomenológico e ignorando os mecanismos e fatores que influenciam na formação desse padrão. O passo seguinte, então, para além
+dessa identificação de padrões, é desenvolver modelos lineares (ou não lineares) para investigar como variáveis diversas (como variáveis ambientais,
+da paisagem, ou da presença de recursos ou outros animais, por exemplo) influenciam nos parâmetros das distribuições de tamanho de passo (ou de
+outras características relacionadas a movimento). Além disso, outras possibilidades de abordagem incluem modelos de detecção imperfeita,
+levando em conta a incerteza na medida dos pontos de deslocamento, abordagem que se aproxima do que é chamado na literatura de //state-space models//
+(veja Patterson et al 2008).
+=====Referências bibliográficas=====
+Batista, J.L.F. 2009. Verossimilhança e Máxima Verossimilhança.
+Bolker, B.M. 2008 Ecological Models and Data in R Princeton: Princeton University Press.
+Burnham, K.P., Anderson, D.R. 2002. Model Selection and Multimodel Inference:
+A Practical-Theoretic Approach, 2nd ed. New York, Springer-Verlag.
+Edwards, A.M. et al. 2007. Revisiting Lévy flight search patterns of wandering
+albatrosses, bumblebees and deer. Nature, 449, 1044-1049.
+Edwards, A.M. 2008. Using likelihood to test for Lévy flight search patterns
+and for general power-law distributions in nature. Journal of Animal Ecology, 77, 1212–1222.
+Patterson, T.A. et al. 2008. State–space models of individual animal movement. Trends in Ecology and Evolution,
+(2), 87-94.
+Newman, M.E. (2005). Power laws, Pareto distributions and Zipf's law. Contemporary physics, 46(5), 323-351.
+Viswanathan, G.M. et al. 2011. The Physics of Foraging: an Introduction to Random Searches and
+Biological Encounters. Cambridge University Press, Cambridge.
+=====Citação=====
+Este ensaio é um produto de disciplina da pós-graduação da Universidade de São Paulo. Para citá-lo:
+Niebuhr, B.B.S. 2014. Distinguindo entre padrões de movimento animal usando a abordagem da verossimilhança.
+In: Prado, P.I. & Batista, J.L.F. Modelagem Estatística para Ecologia e Recursos Naturais.
+Universidade de São Paulo. url: http://cmq.esalq.usp.br/BIE5781.